大模等差数列中的光滑整数

我们研究在通常近似中，对模 $q$ 同余于 $a$ 的 $y$-光滑整数个数的平均误差项，其中 $a\neq 0$ 是一个固定整数。我们证明在 $\exp\{(\log\log x)^{5/3+\varepsilon}\} \leq y \leq x$ 范围内，且对 $q\leq x/M$ 平均（其中 $M\rightarrow \infty$ 为适度大小）时，该平均误差项渐近于 $-|a|\Psi(x/|a|,y)/2x$。此类先前结果由第二作者针对相当稠密的序列获得，然而本文所研究的 $y$-光滑整数序列是稀疏的，并且需要使用专门针对光滑整数的不同技术。