度量空间中的比例代表性与低扭曲委员会选择

我们引入了一个新的定义，用于在度量空间中由 k 个点组成的小集合 R “代表”一个更大的集合。给定一个需要代表的集合 V（例如文档或选民）以及一个可能的代表集合 C，我们的准则要求，对于包含 V 中 theta 比例的任意子集 S，S 到 R 中最佳的 theta*k 个点的平均距离，与其到 C 中所有点里最佳的 theta*k 个点的平均距离相比，不应超过 gamma 倍。这一定义是比例公平性和核心公平性的加强版，但与这些概念不同的是，它要求大型内聚集群按其规模比例得到代表。由于存在某些实例——除非 gamma 具有多项式级别的大小——否则没有解，我们在资源增广框架中研究这一概念，隐式地将大小为 k 的集合 R 的约束视为其大小仅为 k/alpha（其中 alpha > 1）。此外，受选举应用的启发，我们主要关注“序数”模型，在该模型中算法不学习实际距离；相反，它仅针对 V 中的每个点 v 以及每个候选对 c, c'，学习 c 和 c' 中哪个离 v 更近。我们的主要结果是，Aziz 和 Lee 提出的扩展批准规则 (Expanding Approvals Rule, EAR) 具有 (alpha, gamma) 代表性，其中 gamma <= 1 + 6.71 * (alpha)/(alpha-1)。我们的结果引出了三个值得注意的副产品。首先，我们表明 EAR 在序数模型中实现了常数比例公平性，给出了基于序数信息的度量比例公平性的首个正面结果。其次，我们表明对于核心公平性目标，EAR 在资源增广与近似之间实现了与 Li 等人最近使用度量完全知识的结果相同的渐近权衡。最后，我们的结果意味着一种非常简单的单席位胜者投票规则，其度量扭曲至多为 44。