比例批准投票、调和 k-中位数与负关联

我们研究了一个通用框架，该框架对两类重要问题提供了统一视角：(i) k-中位数问题的扩展，其中客户希望在其附近拥有多个设施（例如，由于以小概率最近设施可能发生故障从而可能不可用），以及 (ii) 根据一些吸引人的多赢者选举规则寻找获胜者，即旨在基于选民群体对个别候选人的偏好来选择代表机构（如议会）的选举系统。我们框架中的每个问题都关联一个权重向量：我们展示了问题的可近似性取决于这些向量的结构特性。我们特别关注调和权重序列，其在多赢者选举设置中解释的目标函数反映了著名的比例批准投票（PAV）规则。我们的主要结果是，由于权重的特定（调和）结构，该问题允许常数因子近似。这是令人惊讶的，因为该问题可解释为k-中位数问题的一个变体，其中我们不假设连接成本满足三角不等式。我们提出的算法基于依赖舍入[Srinivasan, FOCS'01]应用于该问题的自然LP松弛的解。众所周知，该舍入过程产生满足负相关性（NC）的整数解上的分布，这通常足以分析舍入过程提供的近似保证。然而，在我们的分析中，我们需要用到以下事实：精心实现的舍入过程满足更强的性质，称为负关联（NA），这使我们能够对条件随机变量应用标准的集中界。