局部搜索比例批准投票的下界

从 n 个异构代理人偏好中选择 k 个 m 个选项中的项是算法博弈论中广泛研究的问题。如果代理人对单个选项持有批准偏好，并对捆绑采用和谐效用函数——即如果代理人获选了 t 个其批准的选项，则效用为 1+1/2+...+1/t——则福利优化由一种称为比例批准投票（PAV）的投票规则所捕获。PAV 也满足严苛的公平性公理。然而，在 PAV 下寻找获胜选项集是 NP-hard 的。为了寻找具有强大公平性保证的可计算方法，Aziz 等人提出了 PAV 的有界局部搜索版本。该方法从任意大小为 k 的集合 W 开始，每次检查是否存在候选对 a∈W、b∉W 使得交换 a 和 b 后福利至少增加 ε；若是，则执行该交换。Aziz 等人指出，设置 ε=n/k² 可确保所需的公平性保证和多项式运行时间。然而，他们留下了一个开放问题：若 ε 非常小（特别是若我们不停止直到不存在福利改进的交换），算法是否在多项式时间内收敛？我们解决了这个问题，证明如果 ε 可以任意小，则该算法的运行时间可能是超多项式的。具体而言，我们证明如果改进按字典序选择，则该算法的下界为 Ω(k^{log k})。为补充下界，我们对比了两种局部搜索变体——更好响应和最佳响应——在几个真实数据集和各种合成数据集上的实际表现。我们的实验表明，实际情况下，更好响应的运行时间快于最佳响应。