小群体审议的度量扭曲

我们考虑一种社会选择模型，其中投票者通过在规模至多为 $k$ 的小群体中进行审议来对一组选择（或备选项）进行排序，然后通过一种社会选择规则汇总这些结果以找出获胜的备选项。我们将这些模型建立在度量扭曲框架中，其中投票者和备选项被嵌入到一个潜在的度量空间，距离更近的备选项对投票者来说更合意。我们假设小群体互动的结果以确定性或概率性的方式最优地利用了投票者对该度量的集体知识。我们刻画了小规模 $k$ 下审议模型的扭曲度，表明规模为 $k=3$ 的群体足以将扭曲界推至确定性度量扭曲下界 $3$ 以下，而规模为 $4$ 的群体足以打破随机化下界 $2.11$。我们还展示了关于群体规模近乎紧的渐近扭曲界，表明对于任意常数 $\epsilon > 0$，实现 $1+\epsilon$ 的扭曲所需的群体规模仅取决于 $1/\epsilon$，而与备选项数量无关。我们通过将问题形式化为独立同分布随机变量之和的小偏差中的一个基本优化问题来获得这些结果，并通过非凸优化将其求解至全局最优。所得界可能在概率论中具有独立的研究意义。