多赢家投票的度量失真

我们将近期引入的度量失真框架扩展至多赢家投票。在该框架中，$n$ 个智能体与 $m$ 个备选项位于一个潜在的度量空间中。智能体与备选项之间的精确距离是未知的。取而代之的是，每个智能体提供一个备选项的排序，按从近到远排列。通常，目标是选择单个备选项以近似最小化智能体到该备选项的总距离，其最坏情况近似比被称为失真。在多赢家投票的情况下，目标是选择一个由 $k$ 个备选项组成的委员会，以（近似）最小化所有智能体的总成本。我们考虑这样一种场景：智能体对某委员会的成本是该智能体到委员会中第 $q$ 近备选项的距离。我们揭示了多赢家投票规则的失真关于 $k$ 和 $q$ 的一个令人惊讶的三分法：当 $q \leq k/3$ 时失真无界，当 $k/3 < q \leq k/2$ 时失真随智能体数量呈渐近线性，当 $q > k/2$ 时失真为常数。