随机社会选择的度量失真界

考虑如下社会选择问题。假设我们有一组 $n$ 个选民和 $m$ 个位于度量空间中的候选人。目标是设计一种机制来选择一个与选民平均距离尽可能小的候选人。然而，该机制不能直接访问度量空间。相反，它获得每位选民按距离对候选人的序数排序。仅给定这一局部信息，机制能保证的最坏情况近似比（称为失真）最小是多少？一个简单的例子表明，任何确定性机制都不能保证优于 $3$ 的失真，任何随机机制都不能保证优于 $2$ 的失真。有人猜想这两个下界都是最优的，且最近 Gkatzelis、Halpern 和 Shah 证明了确定性机制情形下的该猜想。我们反驳了 $m \geq 3$ 时随机机制的猜想，通过构造选举使得任何随机机制对 $m = 3$ 不能保证优于 $2.0261$ 的失真，对 $m = 4$ 不能保证优于 $2.0496$ 的失真，当 $m \to \infty$ 时该值 up to $2.1126$。我们通过识别一类简单度量来获得下界，这类度量似乎抓住了该问题的大部分困难性，并证明任何随机机制在这些度量之一上必具有高失真。我们也给出了针对该受限度量类的近乎匹配的上界。最后，我们猜想这些界给出了每个 $m$ 的最优失真，并给出了 $m = 3$ 时的证明，从而解决了该情形。