确定性社会选择规则的改进度量失真

本文研究基于选民偏好从候选集中选出获胜候选人的确定性社会选择规则的度量失真。选民与候选人位于底层度量空间中。一名选民的代价等于其到获胜候选人的距离。序数社会选择规则仅能获取与度量距离一致的选民序数偏好。我们的目标是设计失真最小的序数社会选择规则，失真定义为在所有一致度量下，该规则的社会代价与知晓底层度量空间的完全信息最优规则的社会代价之比的最坏情况。已知最佳确定性社会选择规则的失真介于 $3$ 与 $5$ 之间。曾有猜想认为，任何仅考察候选人加权竞赛图（weighted tournament graph）的规则其失真不可能优于 $5$。本文中我们给出反例，提出失真为 $4.236$ 的加权竞赛图规则。我们通过推广经典的未覆盖集（uncovered sets）概念设计该规则，并进一步证明此类规则的失真不可能优于 $4.236$。随后我们通过未覆盖集的另一种推广提出一种新的投票规则。我们证明，若满足该投票规则判据的候选人存在，则选择此类候选人可得失真上界 $3$，与下界吻合。我们给出一个蕴含失真为 $3$ 的组合猜想，并通过计算机实验在小规模候选人与选民数下验证。利用我们的框架，我们还证明当加权竞赛图循环对称时，选择任意候选人的失真至多为 $3$。