度量与无限几何图的性质

我们研究了定义在多种度量上的无限随机几何图的同构性质。先前的工作表明，对于具有 $L_{\infty}$-度量的 $\mathbb{R}^n$，无限随机几何图以概率 1 在同构意义下是唯一的。然而，在 $n=2$ 的情况下，对于 $L_2$-度量，这一结论并不成立。我们将此结果推广到由范数诱导的一大类度量。在此类度量空间中，我们证明如果无限几何图具有我们命名为截断（truncating）的新性质，则其在同构意义下不唯一：从稠密集到其自身的每一步等距映射都是等距映射。作为推论，我们得出对于所有有限的 $p>1$，在 $L_p$ 空间中定义的无限随机几何图以概率 1 在同构意义下不唯一。