随机几何图与赋范空间的等距变换

给定有限维赋范空间 $X$ 的一个可数稠密子集 $S$，以及 $0<p<1$，我们在 $S$ 上构建一个随机图，方法是独立地以概率 $p$ 连接每对距离小于 $1$ 的点。如果任意两个这样的随机图（几乎必然）同构，我们称 $S$ 为'Rado'集。Bonato 和 Janssen 证明了在 $l_\infty^d$ 中，几乎所有的 $S$ 都是 Rado 集。本文的主要目的是证明 $l_\infty^d$ 是具有此性质的唯一赋范空间：事实上，在所有其他空间中，几乎所有的集合 $S$ 都是非 Rado 的。我们还确定了哪些空间允许存在某些 Rado 集：结果证明是那些具有 $l_\infty$ 直和项的空间。这些结果回答了 Bonato 和 Janssen 提出的问题。其中一个关键作用是确定哪些有限维赋范空间具有这样的性质：每个双射步长等距（即保持距离的整数部分）实际上都是等距变换。这一结果可能具有独立的兴趣。