具有无限拓扑的恰当嵌入极小平面域是Riemann极小曲面例子
微分几何
2009-09-15 v1
摘要
这些笔记概述了经典极小曲面理论的最新进展，这些进展对于分类R^3中具有无限拓扑（等价于具有无限多个端）的恰当嵌入极小平面域M至关重要。Meeks、Perez和Ros的这个最终分类结果表明，这样的M必须与Riemann在1860年发现的经典例子之一的一个位似缩放全等。这些例子R_s，0<s<∞，是用矩形椭圆曲线C / <1, t√-1>上的Weierstrass P函数P_t定义的，是单周期的，并且与R^3中的每个水平面相交于一个圆或一条平行于x轴的直线。Collin、Lopez和Ros以及Meeks和Rosenberg的早期工作表明，平面、悬链面和螺旋面是仅有的具有有限拓扑（等价于具有有限多个端）的亏格为零的恰当嵌入极小曲面。由于当s趋于0时曲面R_s收敛于悬链面，当s趋于无穷大时收敛于螺旋面，因此R^3中所有恰当嵌入的非平面极小平面域的模空间M同胚于闭单位区间[0,1]。
引用
@article{arxiv.0909.2326,
title = {Properly embedded minimal planar domains with infinite topology are Riemann minimal examples},
author = {William H. Meeks and Joaquin Perez},
journal= {arXiv preprint arXiv:0909.2326},
year = {2009}
}
备注
67 pages, 2 figures. Notes for the lectures given in the "2008 Current Developments in Mathematics" meeting