可压缩重力水波 Stokes 猜想的证明

1880 年，Stokes 检查了受重力影响的不可压、无旋周期性旅行水波，并 conjectured existence of an extreme wave with a corner of $120^{\circ}$ at the crest。第一个严格的证明由 Amick、Fraenkel 和 Toland 给出，亦由 Plotnikov 独立通过 Nekrasov 积分方程完成。2010 年代，Weiss 和 Varvarucva 通过应用新几何方法重新审视了该猜想，这一方法在不要求 stagnation points 隔离、自由表面的对称性和单调性等结构假设的情况下，即可给出肯定答案。本文的主要目的是在可压缩重力水波的语境下确证 Stokes 猜想。更准确地说，我们证明了在具有 $120^{\circ}$ 夹角的可压缩重力水波的每个 stagnation 点附近都会形成尖锐的波峰，这为 1880 年 Stokes 经典猜想的可压缩版本提供了首个证明。我们方法的核心是发现一种用于求解 Bernoulli 类型自由边界问题的新的单调性公式。另一观察是引入了新的非线性频率公式，以及针对可压缩 Euler 系统的补偿紧凑性论证。所发展的单调性公式使我们能够对每个 stagnation 点进行 blow-up 分析，从而获得自由表面在每个 stagnation 点附近的奇异轮廓。借助补偿紧凑性论证和频率公式，尖锐 stagnation 点可进一步分析。