递增表格的推广：框架与同均值性

关于M.-P. Schützenberger (1972) 在矩形标准杨氏表格上的推广算符，一个关键事实是：对每个条目迭代一次推广可恢复原始表格。对于具有严格递增行和列的表格，H. Thomas和A. Yong (2009) 引入了$K$-jeu de taquin理论，并应用于$K$理论舒伯特演算。作者 (2014) 研究了由此理论导出的$K$-推广算符$\mathcal{P}$，但表明该关键事实通常不能推广到此类递增表格的$K$-推广。在此我们证明该关键事实对矩形边界上的标签成立。即，对于条目以$q$为界的矩形递增表格$T$，有$\mathsf{Frame}(\mathcal{P}^q(T)) = \mathsf{Frame}(T)$，其中$\mathsf{Frame}(U)$表示$U$限制在其首行、末行及首列、末列。利用此事实，我们得到了一族关于某些统计量在$K$-推广轨道上的平均值的同均值性结果，将J. Bloom、D. Saracino和作者 (2016) 的一个$2$行定理推广到了任意矩形形状。