单代数中换位子的乘积

设 $A$ 为一个有限维单代数且不是域。我们证明对于任意 $a\in A$，存在 $b,c,d,e\in A$ 使得 $a=(bc-cb)(de-ed)$。对于无限维单代数，这一结论并非总是成立。事实上，对于任意 $m\in \mathbb N$，我们给出了一个无限维单单位 C*-代数 $A$ 的例子，其中 $1$ 不能表示为 $\sum_{i=1}^m x_i(a_ib_i-b_ia_i)y_i$，其中 $x_i,a_i,b_i,y_i\in A$。