乘积 Gale 与有限状态维数

本文引入了乘积 Gale 的概念，即对 $s$-Gale 进行修改，使得在每个符号上都可下 $k$ 个独立的赌注。将所下赌注的乘积计入乘积 Gale 的资本函数中。我们表明，使用乘积 Gale 可以刻画 Hausdorff 维数。能够在每个符号上下 $k$ 个独立赌注的 $k$-赌注有限状态博弈者，我们将由乘积 Gale 所诱导的由 $k$-赌注有限状态博弈者所定义的有限状态维数的概念称为多赌注有限状态维数。Bourke、Hitchcock 与 Vinodchandran 给出了有限状态维数的等价刻画方法，即通过 disjoint block 熵率。我们表明，多赌注有限状态维数可由滑动块熵率进行刻画。此外，我们进一步表明，多赌注有限状态维数同样可由 disjoint block 熵率进行刻画。因此，我们表明有限状态维数与多赌注有限状态维数是同一概念，从而给出了一种新颖的有限状态维数刻画方法，即通过 $k$-赌注有限状态 $s$-Gale。我们还提供了滑动块熵率与 disjoint block 熵率等价性的证明，为 Kozachinskiy 与 Shen 的结果提供了一个基于自动机的备选证明。