精确顶点互素 Ramsey 数的素数证书

设 $G_n$ 为集合 $\{1,\ldots,n$ 上的互素图。我们证明了混合顶点着色互素 Ramsey 数满足 $\Rcop(k_1,\ldots,k_c)=p_{\sum_{i=1}^c(k_i-1)}$，其中 $p_m$ 为第 $m$ 个素数。该证明是初等的：由鸽巢原理，素数子图 $\{1\}\cup\{p\le n:p\text{ 素数}\}$ 提供上界；而素数-bin 分区通过将每个合数着色为包含其一个素数因子的 bin 来给出匹配的下界。我们保留 $\Rcop$ 用于该顶点着色参数；同一主图上的边着色参数记为 $\Redge$。相同证书观点还产生若干延伸，包括支持互斥性 generalizations、多项式时间证书提取原语，以及将边着色变体精确归约为经典 Ramsey 数的简化：$\Redge(k_1,\ldots,k_c)=p_{\Rcl(k_1,\ldots,k_c)-1}$。这两个公式来自相同的 clique-label 证书的等秩传递。我们还证明，对所有 $k\ge2$，平衡双色对角阈值等于不受限制阈值 $p_{2k-2}$，通过只需弱不等式 $2p_m<p_{2m}<3p_m$ 的确定性素数-bin 分割；对于固定的 $c$，Hall 论证加上标准 Selberg--Delange 估计给出最终的多色平衡证书。