具有近乎线性复杂度的双域模型预处理

双域模型在心脏电生理学中广泛用于模拟心肌中兴奋的扩散和心电图。它由一个抛物型反应扩散方程系统与常微分方程系统耦合而成。其离散化在每个时间步产生一个条件数差的待求逆系统矩阵：因此基于双域模型的模拟伴随着高昂的计算成本。在本文中，我们针对孤立心脏或在包含与周围组织（躯干）耦合的扩展框架中，提出双域模型的预处理方法。该预处理基于离散问题的一种表述，其被证明是对称半正定的。系统的块 $LU$ 分解与一种启发式近似（称为单域近似）是预处理定义的关键要素。针对两个测试用例提供了数值结果：基于分割心脏医学图像几何的逼真胸部切片的二维测试用例，以及涉及具有正交各向异性小立方组织板的三维测试用例。对所得计算成本（就 CPU 时间和迭代次数而言）的分析显示出随问题规模的近乎线性复杂度，即类型为 $n\log^\alpha(n)$（对于某个常数 $\alpha$），这是此类问题的最优复杂度。