幂剩余符号与指数局部-全局原理

指数局部-全局原理（或 Skolem 猜想）指出：设 $b$ 为正整数，序列 $(u_{n})_{n = -\infty}^{\infty}$ 的每个项均在 $\mathbb{Z}[1/b]$ 中，满足线性递推式 $u_{n + d} = a_{1}u_{n + d - 1} + \cdots + a_{d}u_{n}$ 对所有整数 $n$ 成立，且其特征方程 $x^{d} - a_{1}x^{d - 1} - a_{2}x^{d - 2} - \cdots - a_{d}$ 的每个根均非零且互为简单根；则该序列不存在零项当且仅当存在某个大于 $1$ 且与 $b$ 互素的整数 $m$，使得序列的每个项都不在 $m\mathbb{Z}[1/b]$ 中。已知该猜想的特定情形，但通用猜想仍未解决。本文通过幂剩余符号证明了一些看似新的二次和退化三次情形的指数局部-全局原理。本工作于 2025 年 1 月在斯顿本博斯大学举办的 Stellenbosch 数论会议期间作出报告；此工作的大部分内容也于 2024 年 12 月在南非数学学会第 67 届年会在普勒斯托大学举行。