低阶Skolem问题的复杂度

Skolem问题询问给定的线性递推序列(LRS) $\langle u_n \rangle_{n=0}^\infty$ 是否包含零项，即是否存在 $n$ 使得 $u_n = 0$。一般情况下该问题的可判定性仍是开放问题，最值得注意的正向结果是至多4阶LRS的判决程序。本文我们考虑Skolem问题的一个有界版本，其中输入包含LRS $\langle u_n \rangle_{n=0}^\infty$ 和一个界 $N \in \mathbb N$（所有整数均以二进制形式编写），任务是确定是否存在 $n \in \{0,\ldots,N\}$ 使得 $u_n=0$。我们给出一个随机算法解决该问题，该算法对于所有 $d \in \mathbb N$，在至多 $d$ 阶的LRS类上以多项式时间运行。作为推论，我们表明阶数至多4的Skolem问题位于 $\mathsf{coRP}$，改进了之前最好的上界 $\mathsf{NP}^{\mathsf{RP}}$。该算法的运行时间随LRS的阶数呈指数增长——这一依赖性在鉴于有界Skolem问题为 $\mathsf{NP}$-hard 的情况下是必然的。然而，即便对于固定阶数的LRS，问题也涉及在指数级范围内检测零点。为此，我们的算法依赖 $p$-adic 分析来隔离多项式数量的候选零点，然后通过归约到算术电路同一性测试，以随机多项式时间测试每个候选点是否为实际零点。