Tonelli 拉格朗日流的正拓扑熵

我们研究了限制在能级 $E_{L}^{-1}(c) \subset TM$ 上的拉格朗日流的拓扑熵，其中 $c >e_0(L)$。我们证明，如果定义在维度为 $n+1$ 的闭流形上的 Tonelli 拉格朗日量 $L: M \to \mathbb{R}$ 的流具有非双曲闭轨道，或者具有能量 $c>e_0(L)$ 的无限多个闭轨道，并满足某些开稠密条件，那么存在一个光滑势函数 $u: M\to \mathbb{R}$，其 $C^2$-范数任意小，使得受扰拉格朗日量 $L_u=L-u$ 限制在 $E_{L_u}^{-1}(c)$ 上的流具有正拓扑熵。该结果的证明基于拉格朗日流的 Franks 引理的类比版本以及 Ma\~n\'e 关于支配分裂的技术。作为一个应用，我们表明如果 $\dim (M)=2$ 且 $c > e_0(L)$，则 $L$ 允许通过光滑势函数 $u$ 进行 $C^2$-扰动，使得受扰流 \phi_t^{L_u}\big{|}_{E_{L_u}^{-1}(c)} 具有正拓扑熵。