矩阵束的半正定区间及其在广义信赖域子问题中的应用

我们关注于寻找实数值 $\mu$ 的集合 $I_{\succeq}(A,B)$，使得矩阵束 $A+\mu B$ 为半正定。如果 $A, B$ 不能通过合同同时对角化（SDC），则 $I_{\succeq}(A,B)$ 或者为空集，或者仅有一个值 $\mu$。当 $A, B$ 为 SDC 时，$I_{\succeq}(A,B)$ 若不为空集，可以是单点或一个区间。特别地，如果 $I_{\succeq}(A,B)$ 是一个区间且至少有一个矩阵是非奇异的，则其内部为正定区间 $I_{\succ}(A,B)$。如果 $A, B$ 均为奇异矩阵，则即使 $I_{\succeq}(A,B)$ 是一个区间，其内部也可能不是 $I_{\succ}(A,B)$，但此时 $A, B$ 可被分解为子矩阵 $A_1, B_1$ 的块对角形式，其中 $B_1$ 非奇异，使得 $I_{\succeq}(A,B)=I_{\succeq}(A_1,B_1)$。应用 $I_{\succeq}(A,B)$，广义信赖域子问题（GTRS）的困难情形只需通过求解一个线性方程组即可处理，或被转化为较小尺寸 GTRS 的容易情形。