单位lag下平稳随机游动Metropolis-Hastings链的正自相关性

文献中常断言，在随机游动Metropolis-Hastings（RWMH）中应期待正自相关性，尤其是当典型proposal步幅相对于目标密度变异性较小时。本文我们考虑取值于d维欧几里得空间的平稳RWMH链${\bf X}$，且仅要求目标分布相对于Lebesgue测度存在密度，进而具有有限第二时刻且proposal步幅分布为一般形式。我们证明，对任意非零向量${\bf c}$，随机过程$\langle{\bf c},{\bf X}\rangle$在单位lag上的自相关函数严格为正，即$Corr(\langle{\bf c},{\bf X}_0\rangle,\langle{\bf c},{\bf X}_1\rangle)>0$，我们也在状态空间改为整数网格${\mathbb Z}^d$时建立相同结论（其中可出现等号）。此外，对于${\bf c}\neq{\bf 0}$，我们在假设（i）目标密度$\pi$关于原点呈球对称单峰形式，即$\pi({\bf x})=\hat{\pi}(\|{\bf x}\|)$其中$\hat{\pi}$在$[0,\infty)$上单调递减；且（ii）proposal步幅密度关于${\bf 0}$对称的前提下，给出严格的下界$Corr(\langle{\bf c},{\bf X}_0\rangle,\langle{\bf c},{\bf X}_1\rangle)>\tfrac19$。我们通过考虑单位lag下的增量方差函数（或增量二阶矩函数）间接研究自相关性。相同方法也允许我们对$r\in[2,\infty)$上单位lag下的增量$r$阶绝对矩函数进行上界估计。我们还给出关于两个仅相差平移分布在${\mathbb R}^d$上的总变差距离的 closely related 不等式。