估计马尔可夫链蒙特卡洛算法收敛速率的变分方法

我们展示了一种变分方法的使用，用于确定马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）算法收敛速率的定量下界，该下界是目标密度和建议密度的函数。该界限依赖于使用变分原理逼近MCMC算子谱中的第二大特征值，该方法适用于具有连续状态空间的问题。我们将该方法应用于具有高斯和四次目标密度的一维示例，并将随机游走Metropolis-Hastings（RWMH）算法与将梯度信息纳入试验移动的“智能”变体的性能进行对比。我们发现变分方法与数值模拟非常吻合。我们还看到，智能MCMC算法通常无法在目标密度的尾部几何收敛，除非在我们检查的最简单情况下，即使如此，也必须小心选择提议移动的确定性和随机部分的适当缩放。这再次对智能MCMC在更复杂问题中的实用性提出了质疑。最后，我们将相同方法应用于近似多维高斯问题（有和没有重要性采样）的收敛速率。在那里，我们证明了对于依赖于具有广泛尺度范围的变量的目标密度，重要性采样的必要性。