Burer-Monteiro 方法的多项式时间保证

Burer-Monteiro 方法是求解大规模半定规划（SDP）最广泛使用的技术之一。其基本思想是在 $Y$ 中求解一个非凸规划，其中 $Y$ 是一个 $n \times p$ 矩阵，使得 $X = Y Y^T$。在本文中，我们证明该方法在平滑分析设定下能在多项式时间内求解 SDP。更确切地说，我们考虑一个域满足某些紧致性与光滑性假设的 SDP，并对代价矩阵与约束进行微小扰动。我们证明，若 $p \gtrsim \sqrt{2(1+\eta)m}$，其中 $m$ 为约束个数且 $\eta>0$ 为任意固定常数，则在平滑分析设定下 Burer-Monteiro 方法能在多项式时间内将 SDP 求解至任意所需精度。我们对 $p$ 的界在 $\eta$ 趋于零时逼近著名的 Barvinok-Pataki 界，而低于该界已知非凸规划可能非最优。先前分析无法给出 Burer-Monteiro 方法的多项式时间保证，因为它们要么假设临界性条件被精确满足，要么忽略了计算近似可行解这一非平凡问题。我们通过代数簇的管状邻域这一新颖联系来解决第一个问题。对于可行性问题，我们考虑最小二乘形式，并给出首个不依赖于受限等距性质（restricted isometry property）的保证。