一种求解二次背包问题SDP松弛的可行方法

本文考虑二次背包问题（QKP）的一个半定规划（SDP）松弛。在使用 Burer-Monteiro 分解后，我们得到一个非凸优化问题，其可行域为一个代数簇。尽管该代数簇上可能存在非正则点，我们证明对于一般性输入数据，除一个平凡点外该代数簇是一个光滑流形。我们还分析了该代数簇上非正则点的局部几何性质。为保持 SDP 问题与其非凸形式之间的等价性，我们推导出一个新的秩条件，在此条件下两问题等价。若系数矩阵具有某些特殊结构，该新秩条件可比经典秩条件弱得多。我们还证明在适当的秩条件下，无需任何正则性假设，非凸问题的任意二阶驻点也是全局最优解。该结果不同于以往基于类 LICQ 光滑性假设的结果。基于这些理论性质，我们设计了一种算法，将流形优化方法与逃离非最优非正则点的策略相结合。我们的算法也可作为求解二次背包问题的启发式方法。数值实验验证了与其他 SDP 求解器及基于动态规划的启发式方法相比，本算法的高效性与鲁棒性。特别地，我们的算法能在一台普通台式机上约 20 分钟内非常精确地求解具有稀疏代价矩阵的百万维 QKP 的 SDP 松弛。