稀疏标准二次优化的更紧且更易处理的松弛与非平凡实例生成

标准二次优化问题（StQP）可以说是所有 NP-难优化问题中最简单的一类，它涉及在标准单纯形（最简单的多面体/紧可行集）上极值化二次型（最简单的非线性多项式）。作为一个问题类，StQP 可能是非凸的，并具有指数数量的低效局部解。StQP 出现在众多应用中，包括数学金融、机器学习（聚类）以及生物科学建模（例如选择和生态学）。本文处理在额外稀疏性或基数约束下的此类 StQP，即使对于凸目标函数，这些约束也会导致 NP-难问题。研究此类稀疏限制下 StQP 的一个动机是，在存在交易成本的情况下，处理资产过多的高维投资组合选择问题。在此，我们依赖现代锥优化技术，为这一相关但困难的问题提出了可处理的凸松弛。我们提出了这些松弛的新颖等价重构形式，实现了显著的维度缩减，这对于问题规模增长时这些松弛的可处理性至关重要。此外，我们提出了一种实例生成过程，系统性地避免了过于简单的实例。我们大量的计算结果表明，在大量实例中松弛界具有高质量。此外，与精确的混合整数二次规划模型相比，松弛的求解时间对问题参数的选择非常稳健。特别是，简化后的公式在求解时间上相比其对应版本实现了显著改进。