精化 $q,t$-Catalan 数的多面体几何

我们利用多面体几何的工具研究 Xin 和 Zhang（2022, 2023）引入的精化 $q,t$-Catalan 数。这些精化 $q,t$-Catalan 数依赖于参数向量 $\vec{k}$，当 $\vec{k} = (1,\ldots,1)$ 时恢复经典的 $q,t$-Catalan 数。我们通过建立由 $\vec{k}$-Dyck 路径及其相关的面积和弹跳统计约束所导出的多面体锥来解释 Xin 和 Zhang 的生成函数。通过这种多面体方法，我们在 $\vec{k} = (k_1,k_2,k_3)$ 和 $(k,k,k,k)$ 的情况下恢复了 Xin 和 Zhang 关于精化 $q,t$-Catalan 数的 $q,t$-对称性定理，给出了一些推广，包括 $\vec{k} = (k,k+m,k+m,k+m)$ 的情形，并讨论了与其他 $q,t$-Catalan 数推广之间的关系。