$q$ 超卡特尼数：组合恒等式、生成函数与纳拉亚纳细化
组合数学
2025-05-26 v1 数论
摘要
我们首先推导了满足 超卡特尼数的一系列组合恒等式。特别是，我们将一些已知的组合恒等式（Touchard、Koshy、Reed Dawson）推广到 超卡特尼数。随后，我们引入一些 卷积恒等式，涉及 中心二项数和 卡特尼数，并推导了 卡特尼数的生成函数。然后，我们引入超卡特尼数的纳拉亚纳型细化。我们通过代数方法证明了这些细化的 正性，并通过类型 B 非交叉分区的特殊情况给出组合论证明。随后，我们引入它们的自然 类似，证明其 - 正性，并证明一些恒等式，推广了 Kreweras 和 Le Jen-Shoo 的恒等式。使用另一恒等式，我们证明了这些细化是 的正整数多项式。
引用
@article{arxiv.2505.09821,
title = {$q$-Super Catalan Numbers: Combinatorial identities, Generating Functions, and Narayana Refinements},
author = {Arthur Rodelet--Causse and Lenny Tevlin},
journal= {arXiv preprint arXiv:2505.09821},
year = {2025}
}
备注
25 pages