基于局部链的q,t-Catalan数的链分解
组合数学
2020-03-10 v1
摘要
q,t-Catalan数Cat_n(q,t)通过dinv和外部面积统计量枚举包含在n×n三角形中的整数划分。论文[LLL18 (Lee, Li, Loehr, SIAM J. Discrete Math. 32(2018))]提出了一种基于将所有整数划分集合分解为无限链来理解对称性Cat_n(q,t)=Cat_n(t,q)的新方法。每个这样的全局链C_μ有一个对偶链C_{μ*}；它们结合起来给出Cat_n(q,t)中一个新的、关于q和t对称的小切片。本文推进了[LLL18]的议程，开发了一种由称为局部链的更小元素构建全局链C_μ的新的通用方法。我们定义了局部链的一个局部对偶性质，它蕴含全局链所需的对偶性质。与相应的全局性质相比，该局部性质在特定情况下更容易验证。我们应用这一机制构造了亏数至多为11的划分的所有全局链。这证明了对于所有n，Cat_n(q,t)中次数至少为binom{n}{2}-11的项在q和t下是对称的。
引用
@article{arxiv.2003.03896,
title = {Chain Decompositions of $q,t$-Catalan Numbers via Local Chains},
author = {Seongjune Han and Kyungyong Lee and Li Li and Nicholas A. Loehr},
journal= {arXiv preprint arXiv:2003.03896},
year = {2020}
}