关于仰升高和加权 Catalan 数的多维推广

加权 Catalan 数是 Dyck 路径上加权求和的一个类别。这些数因其算术性质和组合数论中的应用而被广泛研究，最近被推广到 $k$ 维 Catalan 数的情境中，其中 $k \geq 2$。本文引入了 $k$ 维仰升高度（semisymmetric height）的概念，进而提出了 $k$ 维仰升加权 Catalan 数（$k$-dimensional semisymmetric weighted Catalan numbers, $k$-dimensional SSWCNs）以及其变体——$k$ 维 $u$ 有界仰升加权 Catalan 数（$k$-dimensional $u$-bounded SSWCNs）。我们基于 $\mathbb{Z}^k_{\geq 0}$ 上的新统计量定义这两类数，这一统计量受到 $k$ 维 Dyck 路径类比以及类型 $A_{k-1}$ 基本 Weyl 壁的几何对称性的启发。关于我们的主要结果，我们证明了 $k$ 维 SSWCNs 及其 $u$ 有界变体对适当整数 $m$ 的模数最终是周期的，并推导了若干类 $k$ 维 $u$ 有界 SSWCNs 的公式。此外，利用仰升高度，我们推导了 Dyck 路径按高度计数的整数序列以及 Narayana 数的 $k$ 维新型类比。我们以一种未来推广加权 Catalan 数至 $k$ 维情境的方向作结语。