基于最优传输的多元分布自由检验的 Pitman 效率下界

诸如 Wilcoxon 秩和检验之类的分布自由检验因检验两个单变量分布相等性而广受欢迎。其流行的重要原因在于 Hodges-Lehmann（1956）与 Chernoff-Savage（1958）的惊人结果：作者表明，在位置偏移备择下，Wilcoxon 检验相对于 Student $t$ 检验的渐近（Pitman）相对效率分别不低于 $0.864$（恒等得分）和 $1$（高斯得分），尽管前者在所有样本量下都严格分布自由。受这些结果启发，我们提出并研究了一大类严格分布自由的多元基于秩的两样本检验，借助最优传输理论。首先，我们提出 Hotelling $T^2$ 检验（Student $t$ 检验的自然多维对应）的分布自由类比，并表明它们在多元分布的自然子族上满足 Hodges-Lehmann 与 Chernoff-Savage 型效率下界，尽管完全不知晓底层数据生成机制——这使它们成为首批可证明达到此类效率下界的多元、非参数、严格分布自由检验。由于这些检验派生自 Hotelling $T^2$，自然它们不是普遍相合的（与 Wilcoxon 检验相同）。为克服此点，我们提出著名的核最大均值差异检验与能量检验的严格分布自由版本。这些检验在无矩假设下确实普遍相合、对所有样本量严格分布自由，且具有非平凡 Pitman 效率。我们相信这一性质三重奏在文献中尚未被任何现有检验证明。