Pink 的 Hodge 结构理论与函数域上的 Hodge 猜想

1997 年，Richard Pink 澄清了正特征函数域上 Hodge 结构的概念，如今这些结构被称为 Hodge-Pink 结构。它们在基础函数域上构成一个中性 Tannaka 范畴。他定义了从 Greg Anderson 的可均匀化阿贝尔 $t$-模和 $t$-动机到 Hodge-Pink 结构的 Hodge 实现函子。这使得可以为每个可均匀化 $t$-动机关联一个 Hodge-Pink 群，类似于复数域上光滑射影簇的 Mumford-Tate 群。这进一步使 Pink 能够证明 Drinfeld 模的 Mumford-Tate 猜想的类比。此外，基于 Pink 与第一作者未发表的工作，第二作者在其学位论文中证明了 Hodge-Pink 群等于由 Papanikolas 和 Taelman 定义的 $t$-动机的 motivic Galois 群。这产生了著名的 Hodge 猜想的一个精确类比，而该猜想对于复数域上的簇仍是一个悬而未决的突出难题。在本报告中，我们阐述了 Pink 关于 Hodge 结构的结果以及函数域上 Hodge 猜想类比的证明。$t$-动机理论在对偶 $t$-动机理论中有一个变体。我们澄清了 $t$-动机、对偶 $t$-动机与 $t$-模之间的关系。我们还构造了阿贝尔 $t$-模和（对偶）$t$-动机的上同调实现以及它们之间的比较同构，推广了 Gekeler 关于 Drinfeld 模的 de Rham 同构。