1-动机与混合Hodge结构的可容许变分

设 $S$ 为定义在复数域上的连通、光滑且有限型的概形。对 $S$ 上的每个1-动机，André 关联了由一个无挠、分次极化且可容许的混合Hodge结构变分给出的丰富Hodge实现，其类型为 $(0,0)$、$(-1,0)$、$(0,-1)$、$(-1,-1)$，定义在关联的复解析空间上。在本文中，我们证明了上述类型的每个可容许混合Hodge结构变分在同源意义下均来源于 $S$ 上的一个1-动机，从而对 André 关于此类变分的几何起源的问题给出了肯定的回答。更精确地说，我们通过结合 André 对阿贝尔情形的描述与对环面部分的新分析，建立了半阿贝尔簇截面的Hodge论解释。作为推论，我们在复数域上证明了Deligne等价的相对类比。即，在对 $S$ 以及1-动机所基于的格与环面施加适当假设的条件下，丰富Hodge实现函子在 $S$ 上的1-动机范畴与无挠、分次极化且可容许的混合Hodge结构变分（类型为 $(0,0)$、$(-1,0)$、$(0,-1)$、$(-1,-1)$）的范畴之间诱导了一个等价。一般而言，相应的结论仅在同源意义下成立。最后，我们引入了 $S$ 上1-动机的整体Mumford-Tate群，并证明其连通单位分支与一般纤维的Mumford-Tate群一致。