余维2间断流形附近的分段光滑系统：能否说明理应发生什么？

我们考虑余维2间断流形 $\Sigma$ 附近的一个分段光滑系统。在 Filippov 解类中，若 $\Sigma$ 是吸引的，则应预期解轨迹在 $\Sigma$ 上滑动。然而，众所周知，经典的 Filippov 凸化方法在 $\Sigma$ 上是模糊不清的。无论 $\Sigma$ 上的滑动以何种方式发生，在滑动运动过程中轨迹会遇到所谓的通用一阶退出点，此处 $\Sigma$ 不再具有吸引性，这一可能性使情况进一步复杂化。本工作中，我们试图理解当 $\Sigma$ 吸引时，应预期 $\Sigma$ 附近的解轨迹出现何种行为；当 $\Sigma$ 失去吸引性时（至少在通用退出点处）应预期何种行为；最后我们还对比并比较了文献中提出的若干正则化的行为。通过分析与实验，我们将确认一些已知事实，并提供一些重要见解：(i) 当 $\Sigma$ 吸引时，解轨迹确实保持在 $\Sigma$ 附近，即 $\Sigma$ 上的滑动是一种恰当的理想化（当然，一般而言无法预测应选择哪个滑动向量场）；(ii) 当 $\Sigma$ 失去吸引性（在一阶退出条件下），典型解轨迹离开 $\Sigma$ 的邻域；(iii) 没有明显的方式正则化该系统，使得正则化轨迹在 $\Sigma$ 吸引时保持在 $\Sigma$ 附近，并在 $\Sigma$ 失去吸引性时离开（$\Sigma$ 的邻域）。我们仅通过考察给定的分段光滑系统得出上述结论，而不叠加任何关于 $\Sigma$ 附近（或 $\Sigma$ 上滑动运动）应发生何种动力学的假设。