时间尺度上的 Philos 不等式及其在振动理论中的应用

在 [Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. 29 (1981), no.~7-8, 367--370] 中，Philos 证明了如下结果：设 $f:[t_{0},\infty)_{\mathbb{R}}\to\mathbb{R}$ 为 $n$ 次可微函数，使得 $f^{(n)}(t)\leq0$（$\not\equiv0$）且对所有 $t\geq{}t_{0}$ 有 $f(t)>0$。若 $f$ 无界，则对所有充分大的 $t$ 有 $f(t)\geq\frac{\lambda{}t^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n-1)}(t)$，其中 $\lambda\in(0,1)_{\mathbb{R}}$。本文首先给出该结果的时间尺度统一形式。进而利用它，为高阶中立型动态方程解的振动性与渐近行为提供充分条件。