复 Ginzburg--Landau 方程中经 Kuramoto--Sivashinsky 相位动力的相位湍流

我们研究复 Ginzburg--Landau 初值问题 $\partial_t u=(1+i\alpha) \partial_x^2 u + u - (1+i\beta) u |u|^2$，$u(x,0)=u_0(x)$，其中复场 $u\in{\bf C}$，$\alpha,\beta\in{\bf R}$。我们考虑 Benjamin--Feir 线性不稳定区 $1+\alpha\beta=-\epsilon^2$，其中 $\epsilon\ll1$ 且 $\alpha^2<1/2$。我们证明对所有 $\epsilon\leq{\cal O}(\sqrt{1-2\alpha^2} L_0^{-32/37})$ 以及所有在适当空间中充分接近 1（相差一个整体相位因子 $\ed^{i \phi_0}, \phi_0\in{\bf R}$）的初始数据 $u_0$，存在空间周期 $L_0$ 的唯一（空间）周期解。这些解是行波解 $u=(1+\alpha^2 s) \ed^{i \phi_0-i\beta t} \ed^{i\alpha \eta}$ 的小的{\em 偶}扰动，且 $s,\eta$ 在各 $\L^p$ 与 Sobolev 空间中有有界范数。我们证明只要初始数据满足此条件，则有 $s\approx-{1/2} \eta''$（除 ${\cal O}(\epsilon^2)$ 修正外），并且在线性不稳定范围 $L_0^{-1}\leq\epsilon\leq{\cal O}(L_0^{-32/37})$ 内，动力学本质上仅由相位运动决定，从而呈现“相位湍流”。事实上，我们证明相位 $\eta$ 满足 Kuramoto--Sivashinsky 方程 $\partial_t\eta= -\bigl({\textstyle\frac{1+\alpha^2}{2}}\bigr) \triangle^2\eta -\epsilon^2\triangle\eta -{(1+\alpha^2)} (\eta')^2$，在时间 $t_0\leq{\cal O}(\epsilon^{-52/5} L_0^{-32/5})$ 内成立，而振幅 $1+\alpha^2 s$ 基本为常数。