偏置通信模型中 k-多数动力学的相变

考虑一个图，其中 $n$ 个节点中的每一个均处于状态 $\mathcal{R}$ 或 $\mathcal{B}$。在此，我们分析\emph{同步 k-多数动力学}，其中在每个离散时间轮次中，节点同时以有放回均匀随机方式采样 $k$ 个邻居，并采用样本中所采样节点状态的多数状态（平局时均匀随机打破）。与先前工作不同，我们研究了当动力学受到两种形式偏向状态 $\mathcal{B}$ 的\emph{偏置}时，k-多数在\emph{维持 $\mathcal{R}$ 多数}方面的鲁棒性。该偏置建模为一个外部代理，试图通过以每轮成功概率 $p$ 改变节点间通信来颠覆初始多数：在第一种偏置形式中，代理试图通过传输状态 $\mathcal{B}$ 来改变通信链路；在第二种偏置形式中，代理试图通过使节点直接更新为 $\mathcal{B}$ 来腐蚀节点。我们的主要结果表明两种偏置形式均存在\emph{尖锐相变}。通过考虑每个节点以概率 $q \in (\frac{1}{2},1]$ 处于状态 $\mathcal{R}$ 的初始配置，我们证明对每个 $k\geq3$ 存在临界值 $p_{k,q}^*$ 使得以高概率，外部代理能够颠覆初始多数：若 $p<p_{k,q}^*$ 则在 $n^{\omega(1)}$ 轮内，若 $p>p_{k,q}^*$ 则在 $O(1)$ 轮内。而当 $k<3$ 时，则未观察到相变现象，且对于 $p>0$ 颠覆在 $O(1)$ 轮内发生。