哈明图上交换过程与量子海森堡模型的相变

我们研究哈明图 $H(2,n)$（即完全图的2重笛卡尔积）上的一族随机置换模型，包含交换过程与参数为 $\theta > 0$ 的循环加权交换过程。该族包含量子海森堡铁磁体的随机游走表示。我们表明，在这些模型中置换的循环结构经历一个\textit{相变}——当定义置换的对换个数 $\leq c n^2$（对足够小的 $c > 0$）时，所有循环均为微观的，而当对换个数 $\geq C n^2$（对足够大的 $C > 0$）时，宏观循环以高概率出现。我们给出了依赖于模型参数 $\theta$ 的 $C,c$ 的界，特别地，对于交换过程我们精确指出了相变的临界时间。我们的结果也意味着 $H(2,n)$ 上量子海森堡铁磁体中存在相变，即温度足够低时发生自发磁化，而高温时则不然。我们方法的核心是对循环随机游走的新颖应用，这本身可能具有独立意义。通过分析循环随机游走的探索过程，我们表明随机置换的足够长的循环在图上均匀铺展，这使得我们可以将模型与平均场情形（即完全图上的交换过程）进行比较，扩展了 Schramm 早先使用的方法。