矩形随机矩阵底部奇异向量的相变

在本文中，我们考虑矩形随机矩阵$X=(x_{ij})\in \mathbb{R}^{N\times n}$，其元素独立同分布，且尾部满足$\mathbb{P}(|x_{ij}|>t)\sim t^{-\alpha}$，其中$\alpha>0$。我们考虑当$n$趋于无穷时，$N(n)/n\to \mathsf{a}>1$的机制。我们主要关注对应于最小奇异值的右奇异向量，称之为“底部奇异向量”，记为$\mathfrak{u}$。我们证明了关于$\mathfrak{u}$的局域化长度的如下相变：当$\alpha<2$时，局域化长度为$O(n/\log n)$；当$\alpha>2$时，局域化长度为$n$的量级。对于最小奇异值附近的所有右奇异向量，类似的结果也成立。底部奇异向量的变分定义表明，当$\alpha$跨越2时，这种局域化-离域化转变的机制与顶部奇异向量在$\alpha$跨越4时的机制有本质区别。