具有一般独立同分布坐标的随机向量中为最大值的概率的相变

考虑 $n$ 个独立同分布的实值随机向量，每个大小为 $k$，其坐标独立同分布且具一般分布函数 $F$。一个向量是最大值当且仅当样本中不存在在其他所有坐标上均弱支配它的向量。令 $p_{k,n}$ 为第一个向量是最大值的概率。本文的主要结果是：若 $k\equiv k_n$ 的增长慢于（快于）$\log(n)$ 的某一因子，则当 $n\to\infty$ 时 $p_{k,n} \rightarrow 0$（相应 $p_{k,n}\rightarrow1$）。此外，该因子被完全刻画为 $F$ 的泛函。我们还研究了 $F$ 对 $p_{k,n}$ 的影响，表明尽管 $p_{k,n}$ 可能受 $F$ 选择的高度影响，但相变对所有分布函数直至常数因子均相同。