大型网络中检测小社区时的相变现象

如何在大网络中检测一个小社区是一个有趣的问题，其包含团检测作为特例；在Erdős-Renyi背景存在的情况下，基于度的朴素$\chi^2$检验被证明是有效的。利用Sinkhorn定理，我们表明$\chi^2$检验所捕获的信号可能是一种建模假象，并且一旦我们将Erdős-Renyi模型替换为更广义的网络模型，该信号就可能消失。我们表明，近期的SgnQ检验更适用于此类设定。该检验在检测规模与整个网络相当的社区时是最优的，但从未在我们的设定中被研究过，而我们的设定截然不同且更具挑战性。利用度修正块模型（DCBM），我们建立了该检验问题关于小社区规模以及小社区与大社区中边密度的相变。当小社区规模大于$\sqrt{n}$时，SgnQ检验是最优的，因其达到了计算下界（CLB），即允许多项式计算时间的方法的信息下界。当小社区规模小于$\sqrt{n}$时，我们建立了SgnQ检验具有完全功效的参数区间，并对CLB作了一些猜想。我们还研究了经典信息下界（LB），并表明在我们关注的参数范围内CLB与LB之间始终存在差距。