网络检验中有符号多边形统计量的最优适应性

给定一个对称社交网络，我们感兴趣的是检验它只有一个社区还是多个社区。所期望的检验应 (a) 适应严重的度异质性，(b) 适应混合成员身份，(c) 具有易处理的零分布，以及 (d) 自动适应不同水平的稀疏性，并达到最优相图。如何找到这样的检验是一个具有挑战性的问题。我们提出有符号多边形作为一类新检验。固定 $m \geq 3$，对网络中每个 $m$-边形，使用中心化邻接矩阵定义一个分数。此类分数的和即为第 $m$ 阶有符号多边形统计量。有符号三角形 (SgnT) 和有符号四边形 (SgnQ) 是有符号多边形的特例。我们证明 SgnT 和 SgnQ 检验均满足 (a)-(d)，特别地，它们对非常稀疏和较不稀疏的网络都表现良好。我们提出的检验优于现有检验。例如，EZ 和 GC 检验在较不稀疏情形下表现不佳，且未达到最优相图。此外，许多现有检验不允许严重的异质性或混合成员身份，在我们的设定下表现不佳。SgnT 和 SgnQ 检验的分析精细且极其繁琐，主要原因是我们需要一个统一证明以覆盖广泛的稀疏性水平和广泛的度异质性。对于下界理论，我们使用相变框架，其包含标准极小极大论证，但信息更丰富。证明使用了矩阵缩放的经典定理。