三维 Hofstadter butterfly 与整数量子霍尔效应的相图

我们给出一种视角，关于 Hofstadter butterfly（磁场下的分形能谱），我们在前期工作中已证明其特别发生在三维（3D）系统中。（i）我们首先在传递能与磁场参数空间中获得 Hofstadter butterfly 能谱在各向异性 3D 晶体中的出现相图。（ii）我们表明外部磁场的方向可以任意，以实现 3D butterfly。（iii）我们表明 butterfly 超出半经典描述。（iv）若采用更高的 Landau 能级，代表性有机金属所需的磁场可为适中（约 40 T）。（v）我们给出一种更简单的方法来推导表示量子霍尔数（即 3D 中的两种霍尔电导 $\sigma_{xy}, \sigma_{zx}$，以 $e^2/h$ 为单位）的拓扑不变量。