在无简并提升情况下微扰超球面上的自由运动

我们考虑 S3 上的量子运动，其受到三角 Scarf 势（Scarf I）的微扰，该势包含一个内部量子化的无量纲参数 $l$（即通常的轨道角动量值）和另一个连续参数 $b$（通过它引入外部尺度）。我们论证指出，自由运动的几何超球面 so(4) 对称性发生了破缺，但讨论谱所具有的未微扰类氢简并模式依然保持完整。该论证基于如下观察：对于固定的 $l$ 值，将 Scarf I 波函数在适当识别的 $so(4)$ 表示函数基底下展开，得到的是关于微扰参数 $b$ 的幂级数，其中维度为 $(K+1)^2$ 的载空间（$K$ 的变化范围为 $K\in [l, N-1]$，$N$ 为 Scarf I 势问题的主量子数）贡献至 $O(b^(N-1-K))$ 阶。尽管如此，简并模式仍可被解释为有效 so(4) 对称性的结果，即一种在系统动力学层面实现的对称性，因为从本征值问题的角度来看，Scarf I 的结果等价地从一个哈密顿量获得，该哈密顿量的矩阵元是适当识别的 so(4) Casimir 算子的多项式。该方案适用于任意维度 $d$。