不解除简并的 so(4) 对称性破缺

我们论证，在质量为 "m" 的标量粒子于 S^3_R 上的量子运动中，若受到具有一个内部量化无量纲参数 \ell（三维轨道角动量）和另一个引入连续参数 B 的外部尺度的三角 Scarf 势 (Scarf I) 微扰，自由运动的几何超球面 so(4) 对称性可能会丧失，但未微扰的 {\mathcal N}^2 重简并模式保持完整，其中 {\mathcal N}=(\ell +n+1)，n 表示波函数的节点数。我们的观点是，尽管任何 {\mathcal N} 的简并态数目匹配不可约 so(4) 表示空间的维数，但相应的波函数集在任何 so(4) 下并不不可约地变换。事实上，在将 Scarf I 波函数展开为适当识别的 so(4) 表示函数基时，我们发现了关于微扰参数 B 的幂级数，其中 4D 角动量 K\in [\ell , {\mathcal N}-1] 的贡献最高可达 \left(\frac{2mR^2B}{\hbar^2}\right)^{{\mathcal N}-1-K} 阶。通过这种方式，我们构建了一个由外部尺度导致对称性破缺但保留简并性的明确示例。该方案可推广至任意 d 维的 so(d+2)。