分数积分分数布朗噪声的持久概率

本研究的主要目标是分数积分分数布朗噪声 $I(t/a,H)$，其中 $a>0$ 为积分的‘叠加因子’，$H$ 为 Hurst 参数。分析对象的主题是持久指数 $e(a,H)$，其决定了过程在扩大时间区间 $(0,T)$ 中保持不超过固定水平的概率的幂律渐近。在重要情况下，如分数布朗运动 $FBM(H,a=1)$ 和积分温特过程 $a=2,H=1/2$，这些指数已为人所知。为理解困难的指数 $e(2,H)$，我们考虑来自最大（任务）区域 $G=(a+H>1,0<H<1)$ 的 $(a,H)$ 参数。我们证明指数随着 $a$ 的增加而减小，并描述其在 $G$ 边界附近的行为，包括无穷情况。已建立参数 $(a,H)$ 与 $(a+2H-1,1-H)$ 的指数相等性。这一结果否定了长期假设 $e(2,H)=H(1-H)$。此外，还发现 $FBM(H)$ 和 $FBM(1-H)$ 过程之间存在分数积分关系。我们获得了指数 $e(a>>1, H)$ 的确切值。它等同于具有协方差 $\cosh((H-1/2)t)/\cosh(t/2)$ 的高斯平稳过程的持久指数，并推广了众所周知的 $H=1/2$ 情况。我们的结果使用已知的持久指数连续性引理，以及针对参数平滑依赖的高斯过程族的某种 Slepian 引理的 generalizations。