基于Lyapunov-Schmidt约化的高阶扰动微分系统周期解的持久性

在这项工作中，我们首先提供了充分条件，以保证对于足够小的 $|\varepsilon|\neq0$，形如 $$g(z,\varepsilon)=g_0(z)+\sum_{i=1}^k \varepsilon^i g_i(z)+\mathcal{O}(\varepsilon^{k+1})$$ 的函数的某些零点得以保持。这里 $g_i:\mathcal{D}\rightarrow\mathbb{R}^n$，对于 $i=0,1,\ldots,k$，是光滑函数，其中 $\mathcal{D}\subset \mathbb{R}^n$ 是一个有界开集。然后我们利用这一结果来计算控制以下 $T$-周期光滑微分系统周期解的分岔函数：$$x'=F_0(t,x)+\sum_{i=1}^k \varepsilon^i F_i(t,x)+\mathcal{O}(\varepsilon^{k+1}), \quad (t,z)\in\mathbb{S}^1\times\mathcal{D}.$$ 假设未扰动微分系统具有一个周期解的子流形 $\mathcal{Z}$，$\textrm{dim}(\mathcal{Z})\leq n$。我们还研究了分岔函数具有连续统零点的情况。最后，我们给出了直到5阶的分岔函数的显式表达式。