分支随机游走竞争系统的持久性

我们考虑 $\R$ 上的一个独立分支随机游走系统，该系统由强度形式为 $e_{\lambda}(du)=e^{-\lambda u}du$ 的 Poisson 点过程启动，其中 $\lambda\in\R$ 的选择使得粒子的总强度保持不变。用 $\chi$ 表示簇分布，并设 $\phi$ 为 $\chi$ 强度的对数 Laplace 变换。如果 $\lambda\phi'(\lambda)>0$，我们证明系统是持久的（稳定的），这意味着由第 $n$ 代粒子形成的点过程当 $n\to\infty$ 时收敛于具有强度 $e_{\lambda}$ 的非平凡点过程 $\Pi_{e_{\lambda}}^{\chi}$。如果 $\lambda\phi'(\lambda)<0$，则分支种群遭受局部灭绝，这意味着极限点过程为空。我们将 $\R$ 上关于簇分布 $\chi$ 簇不变的（通常是非平稳的）点过程，刻画为点过程 $\Pi_{ce_{\lambda}}^{\chi}$ 在 $c>0$ 和 $\lambda\in K_{\text{st}}$ 上的混合，其中 $K_{\text{st}}=\{\lambda\in\R: \phi(\lambda)=0, \lambda\phi'(\lambda)>0\}$。