阈值接触过程中活动的持续性：随机布尔网络的“退火近似”

我们考虑了一个基因调控网络模型，它是 Kauffmann (1969) 随机布尔网络的修正版本。该模型有三个参数：$n =$ 节点数，$r =$ 每个节点的输入数，以及 $p =$ 每个节点布尔函数中 1 的期望比例。遵循物理学文献中的标准做法，我们使用一个具有 $n$ 个节点且每个节点入度为 $r$ 的随机图上的阈值接触过程来近似其动力学。我们证明，如果 $r\ge 3$ 且 $r \cdot 2p(1-p)>1$，则该阈值接触过程能持续较长时间，这对应于布尔网络的混沌行为。遗憾的是，我们只能证明当 $r\cdot 2p(1-p)> 1$ 时，持续时间 $\ge \exp(cn^{b(p)})$，其中 $b(p)>0$；而当 $(r-1)\cdot 2p(1-p)>1$ 时，$b(p)=1$。