合作型双二次布尔网络中的大吸引子：第二部分

布尔网络一直是广泛关注的对象，特别是自 S. Kauffman 在 20 世纪 60 年代提出将其作为基因调控网络模型以来。这些系统的特征在于定义在布尔状态空间上，并在离散时间步长上进行同步更新。对于生物应用而言，特别重要的是每个变量的入度受固定常数限制的网络，正如 Kauffman 在其原始论文中所强调的那样。一个重要的问题是：网络拓扑需要满足什么条件才能排除系统中指数级长度的周期轨道。在本文中，我们考虑合作型系统，即所有变量之间具有正反馈互连的系统，这在连续设置中保证了非常稳定的动力学。在本文的第一部分中，我们提出了一种构造方法，表明对于任意常数 $0<c<2$ 和足够大的 $n$，存在 $n$ 维布尔合作网络，其中每个变量的入度和出度均受限于二（双二次网络），但仍包含长度至少为 $c^n$ 的周期轨道。在这一部分中，我们证明了一个逆结果：对于足够大的 $n$ 以及足够接近 2 的 $0<c<2$，任何具有长度至少为 $c^n$ 的循环的 $n$ 维合作型双二次布尔网络，必须有很大比例的变量入度为 1。因此，这类系统与第一部分中构造的系统具有结构相似性。